Kiedy Glenn miała 13 lat jej ojciec otworzył klinikę w belgijskim Kongo. Dlatego też Glenn przez 16 lat mieszkała w Afryce, wyjeżdżając do szkoły w Szwajcarii. Do filmu trafiła dość późno. Miała jednak już ogromne doświadczenie aktorki teatralnej.
Swoja karierę zaczęła w roku 1974, wraz z Phoenix Theatre Company z Nowego Jorku. Jej debiutem filmowym był "
Świat według Garpa",reżyserowany przez
George'a Roy Hilla. Od tego czasu umacniała swoją pozycję w Hollywood, kolejnymi świetnymi rolami: jako ciepła, mądra żona
Kevina Kline'a w "
The Big Chill", wplątana w romantyczne intrygi prawniczka w "
Zębatym ostrzu" i mściwa, odrzucona kochanka w kontrowersyjnym obrazie
Adriana Lyne "
Fatalne zauroczenie". Jej wszechstronność uwidoczniła się w "
Niebezpiecznych związkach".
Close była pięciokrotnie nominowana do Oscara, a także otrzymała nagrody Tony za role teatralne.
W roku 1995 dostała nagrodę Emmy za śmiałą rolę pułkownik Margharete Cammermeyer, w filmie telewizyjnym dla kanału NBC "Historia Margarethe Cammermeyer", produkowanym wspólnie z
Barbarą Streisand. Została także nominowana do Emmy za filmy telewizyjne "
Something About Amelia" oraz "
Sarah, Plain and Tall".