Urodził się i mieszkał w Nigerii do 16. roku życia. Potem przeniósł się wraz z rodziną do Australii, gdzie uczył się w Knox Grammar School w Sydney. Aktorstwa uczył się w National Institute of Dramatic Arts, dyplom uzyskał w 1981 roku.
Jego debiut to "
The City's Edge". Potem grywał jeszcze w wielu filmach, ale pierwszy większy sukces przyniósł mu "
Proof", gdzie zagrał niewidomego fotografa. Za tę rolę otrzymał nagrodę Australijskiego Instytutu Filmowego.
Prawdziwym sukcesem okazał się film
Stephena Elliota "
Priscilla, królowa pustyni", w którym to Weaving zagrał z
Guyem Piercem i
Terencem Stampem. Dzięki niemu zyskał dużą popularność oraz nominację do kolejnej nagrody A.I.F. Za kolejny film "
Przesłuchanie" Hugo otrzymał, oprócz nagrody A.I.F., nagrodę Międzynarodowego Festiwalu Filmowego w Montrealu. W 1998 został utytułowany australijską Gwiazdą Roku.
Międzynarodową sławę przyniosła mu rola w filmie braci
Wachowskich "
Matrix" oraz występ w ekranizacji trylogii "
Władca Pierścieni", gdzie zagrał elfa Elronda.